線型性 - 変更履歴

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2007年5月16日 (水) 18:34にキリカによる

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'''線型性'''（せんけいせい、linearity）あるいは'''線型'''（せんけい、linear, [[ラテン語]]: linearis）は、[[線]]のようにまっすぐな[[図形]]やそれに似た性質をもつ対象および、そのような性質を保つ変換などに対して用いられる述語である。表記には揺れがあり'''線形'''あるいは'''線状'''とも記す。また場合により、'''一次'''とも称す（ただし、"一次" が "線型" を意味しない場合も多い）。

== 線型写像 ==
[[数学]]において、写像''f''(''x'') が線型であるとは、''f'' について以下の 2 つの性質

* '''加法性''': ''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'').
* '''斉次性'''（作用の可換性）: ''f''(α''x'') = α''f''(''x'') for all α.
が満たされることである。ここで ''x'' は[[実数]]や[[複素数]]、あるいは[[ベクトル]]など一般に[[環論|環]]上の[[アーベル群|加群]]の元である（α はスカラー倍）。

たとえば、[[一次関数]]はそれが[[原点]]を通るとき、またそのときに限り線型性を持つ。

[[線型代数学]]はこのような線型の変換とそれによって保たれる[[空間]]の性質について研究する[[学問]]であり、ベクトル、[[ベクトル空間]]および[[行列]]によって表される[[線型写像]]や[[線型方程式系]]について扱われる。また[[関数 (数学)|関数]]を関数にうつす写像である[[作用素]]の線型性は[[関数解析学]]であつかわれる。関数の[[微分]]を作用素とみなすことで得られる[[微分作用素]]（たとえば[[ナブラ|∇]]や[[ラプラス方程式|ラプラス作用素]]）の概念は線型作用素の重要な例である。

== 微分方程式 ==
[[微分方程式]]が[[線型方程式|線型]]である場合は[[線型代数学]]の範疇で解を探すことができる。一方で、線型でない（'''非線型'''の）場合には、たとえば[[カオス理論|カオス]]のような問題があらわれ、解くことが飛躍的に難しくなる。しかしそれゆえに、また[[パンルヴェ方程式]]のようにある種の対称性をもち、幾何学的に多様な性質を内包するものが存在するなどの理由により、[[数学者]]や[[物理学者]]などにとって興味深い対象が数多く存在するのも非線型微分方程式である。

== 重線型 ==
多変数の写像の線型性として重線型性（多重線型性）がある。2 変数の場合は
;双線型性
# ''f''(''x'' + ''y'', ''z'') = ''f''(''x'', ''z'') + ''f''(''y'', ''z''),
# ''f''(''x'', ''y'' + ''z'') = ''f''(''x'', ''y'') + ''f''(''x'', ''z''),
# ''f''(''cx'', ''y'') = ''f''(''x'', ''cy'') = ''cf''(''x'', ''y'')
である。双線型な汎関数（双線型形式）の例としては[[内積]]や[[外積]]が挙げられる。さらに多変数の場合に
;多重線型性
#<math> f(x_1, \ldots, x_i + x'_i, \ldots, x_n) =
f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) +
f(x_1, \ldots, x'_i, \ldots, x_n)
</math>
#<math> f(x_1, \ldots, c\cdot x_i, \ldots, x_n) =
c\cdot f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)
</math>
を考えることができる。例えば[[行列式]]は列または行ベクトルに注目すれば多重線型形式である

* テンソル積、テンソル代数

== 関連項目 ==
* [[線型結合]]
* [[線型方程式]]
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