単位元 - 変更履歴

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2007年5月16日 (水) 18:32にキリカによる

2007-05-16T18:32:15Z

キリカ: http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=単位元&oldid=11439926

2007-05-16T18:31:52Z

http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=単位元&oldid=11439926

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[[数学]]、とくに[[代数学]]において、[[二項演算]] * を持つ[[集合]] ''M'' について、''M'' の * に関する'''単位元'''（たんいげん, {{Lang|en|identity element}}）とは、''M'' のすべての[[元]] ''a'' に対して
:<math> a * e = e * a = a </math>
を満たすような元 ''e'' のことである。単位元を表すのに[[アルファベット]]の e が良く用いられるが、数字の 1 を流用して、''M'' の単位元が 1''M'' あるいは単に 1 と記されることも多い。

== 関連諸概念 ==

;右単位元・左単位元 :単位元の定義をさらに分けて、''a'' * ''e'' =''a'' を満たす ''e'' を'''右単位元'''といい、''e'' *''a'' = ''a'' を満たす ''e'' を'''左単位元'''ということもある。単位元は左単位元かつ右単位元である。[[算法|演算]]が[[交換法則|可換な]]ときには左右の区別はない。

;単位元の添加 :二項演算 * を持つかってな集合 ''M'' が与えられたとき、''M'' に新たな元 1 を付け加えた集合 ''M''1 := ''M'' ∪ {1} を考える。このとき、
::任意の ''a'' ∈ ''M''1 に対して ''a'' * 1 = 1 * ''a'' = ''a''
:と定めて、''M'' の演算 * を ''M''1 上に延長することにより、元 1 を ''M''1 の * に関する単位元とすることができる。この ''M''1 を ''M'' の '''1-添加'''という。
:もし、''M'' がもともと * に関する単位元 ''e'' を持っていたとしても、''e'' は ''M''1 上ではもはや * に関する単位元ではない。実際、新しく加えた 1 の定義より 1 * ''e'' = ''e'' * 1 = ''e'' となるから ''e'' が ''M''1 における * に関する単位元の定義を満たすためには ''e'' = 1 とならなければならない。しかしこれは ''M'' に無い新たな元を 1 として加えたことに矛盾する。

;モノイド :[[半群]]（[[結合法則]]を満たす二項演算の定義された集合）は、その演算に関する単位元を持つとき、[[モノイド]]という。

==性質==
単位元は対象となる代数系、すなわち[[集合]] ''M'' と演算 * の組に対して、[[高々 (数学)|高々]] 1 個しかない。つまり、存在すれば一意に定まるのである。事実、''e''1 と ''e''2 がともに単位元であるならば、

:<math>e_1 = e_1 * e_2 = e_2</math>

が成立する。ここで、最初の等号は ''e''2 が、後の等号は ''e''1 が、それぞれ単位元であることを用いている。これにより ''e''1 = ''e''2 となり、異なる単位元は二つ以上存在しないことがわかる。

同じひとつの集合でも、演算が二つ以上定義されている場合には、それぞれの演算に対する単位元が異なることもあり得る。

==例==
*[[自然数]]全体のなす集合 '''N'''、[[整数]]全体のなす集合 '''Z'''、[[実数]]全体のなす集合 '''R''' などにおいて、加法の単位元は 0 である。一般に加法（可換な演算）の単位元を'''零元'''といい、0 で表すことが多い。
* '''N''', '''Z''', '''R''' において、乗法の単位元は 1 である。
* 同じ型の[[行列]]全体のなす集合について、加法の単位元は[[零行列]]である。
* 同じ型の[[正方行列]]全体のなす集合で、乗法の単位元は[[単位行列]]である。

==関連記事==
*[[結合法則]]
*[[交換法則]]
*[[分配法則]]
*[[代数的構造]]

[[Category:代数的構造|たんいけん]]
[[Category:数学に関する記事|たんいけん]]

[[ar:عنصر_حيادي]]
[[bg:Неутрален_елемент]]
[[ca:Element_neutre]]
[[cs:Neutrální_prvek]]
[[de:Neutrales_Element]]
[[en:Identity_element]]
[[es:Elemento_neutro]]
[[et:Ühikelement]]
[[fi:Neutraalialkio]]
[[fr:Élément_neutre]]
[[he:איבר_יחידה]]
[[hu:Neutrális_elem]]
[[it:Elemento_neutro]]
[[ko:항등원]]
[[lmo:Elemeent_néutar]]
[[nl:Neutraal_element]]
[[pl:Element_neutralny]]
[[pt:Elemento_neutro]]
[[ru:Нейтральный_элемент]]
[[sk:Neutrálny_prvok]]
[[sl:Enak_element]]
[[sv:Neutralt_element]]
[[uk:Нейтральний_елемент]]
[[vi:Phần_tử_đơn_vị]]
[[zh:單位元]]

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 *[[分配法則]]
 *[[代数的構造]]
 [[Category:代数的構造|たんいけん]]
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 [[Category:数学に関する記事|たんいけん]]
 [[en:Identity_element]]
-[[es:Elemento_neutro]]
-[[et:Ühikelement]]
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