円 (数学) - 変更履歴

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‎関連項目

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PG: /* 拡幅円弧の長さ */

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‎拡幅円弧の長さ

PG: /* その他の円を特別の場合として含む曲線族 */

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‎その他の円を特別の場合として含む曲線族

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‎円錐曲線

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‎一般化

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‎円の方程式

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‎接線の方程式

PG: /* 接線の方程式 */

2025-11-30T13:07:03Z

‎接線の方程式

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 * {{PlanetMath|urlname=circle|title=circle}}
 * {{ProofWiki|urlname=Definition:Circle|title=Definition:Circle}}
-* {{SpringerEOM|urlname=Circle|title=Circle|first=A.B.|last=Ivanov}}
+* Ivanov, A.B. (2001) [1994], “Circle”, [https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics Encyclopedia of Mathematics], EMS Press
 {{Link FA|mk}}

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 ==関連項目==
 * [[単位円]]
 * [[楕円]]
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 * [[円周率]]
 * [[⌒]]
 {{Link FA|mk}}
 {{DEFAULTSORT:えん}}

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 \end{array}</math>
 ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。
 ==関連項目==

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 == 拡幅円弧の長さ ==
-半径Rの円弧上の始点で幅w1、終点で幅w2の拡幅円弧の長さの計算
+半径 ''R'' の円弧上の始点で幅 ''w''{{sub|1}}、終点で幅 ''w''{{sub|2}} の拡幅円弧の長さの計算
+* <math>L=R\theta</math>
-<math>\ L=R\boldsymbol{\theta}</math>
+* <math>k=\frac{w_2 -w_1}{L}</math>
-−
-<math>\ \frac{w2-w1}{L}=k</math>
-−
 とすると、
+:<math>dL=(R+w_1 +kR\theta )d\theta</math>
-<math>\ dL=(R+w1+kR\boldsymbol{\theta})d\boldsymbol{\theta}</math>
+:<math>\begin{array}{rcl}
+Lw &= &\displaystyle (R+w_1 )\theta +\frac{1}{2} kR\theta^2 \\
-<math>\ Lw=(R+w1)\boldsymbol{\theta}+\frac{1}{2}kR\boldsymbol{\theta}^2</math>
+&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{w_1}{R} +\frac{kL}{2R} \right\} \\
+&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} ( w_1 +\frac{1}{2}kL)\right\} \\
-<math>\ Lw=L\big\{1+\frac{w1}{R}+\frac{kL}{2R}\big\}</math>
+&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \left( w_1 +\frac{1}{2} (w_2 -w_1 )\right) \right\} \\
+&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \frac{w_1 + w_2}{2} \right\} \\
-<math>\ Lw=L\big\{1+\frac{1}{R}(w1+\frac{1}{2}kL)\big\}</math>
+&= &\displaystyle \left( R+\frac{w_1 +w_2}{2} \right) \theta
+\end{array}</math>
-<math>\ Lw=L\big\{1+\frac{1}{R}(w1+\frac{1}{2}(w2-w1))\big\}</math>
+ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。
-−
-<math>\ Lw=L\big\{1+\frac{1}{R}\frac{w1+w2}{2}\big\}</math>
-−
-<math>\ Lw=(R+\frac{w1+w2}{2})\boldsymbol{\theta}</math>
-−
-よって、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。
 ==関連項目==

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	=== その他の円を特別の場合として含む曲線族 ===		=== その他の円を特別の場合として含む曲線族 ===
		+	円は他の様々な図形の極限の場合と見ることができる:
		+	* デカルトの卵形線は[[焦点 (幾何学)\|焦点]]と呼ばれるふたつの定点からの距離の重み付き和が一定となるような点全体の成す軌跡である。各距離に付ける重みが全て等しいとき[[楕円]]となり、[[離心率]]が {{math\|0}} であるような楕円として円が得られる（これは二つの焦点が互いに重なる極限の場合であり、一致した焦点は得られる円の中心となる）。ふたつの重みのうちの一方を {{math\|0}} として得られるデカルトの卵形線としても、円が得られる。
		+	* [[スーパー楕円\|超楕円]]は、適当な正数 {{mvar\|a, b > 0}} と自然数 {{mvar\|n}} に対する <math display="inline">\left\|\frac{x}{a}\right\|^n + \left\|\frac{y}{b}\right\|^n = 1</math> の形の方程式を持つ。{{math\|''b'' {{=}} ''a''}} のとき超円と言う。円は {{math\|''n'' {{=}} 2}} となる特別な超円である。
		+	* [[カッシーニの卵形線]]は二つの定点からの距離の積が一定となるような点全体の軌跡を言う。ふたつの定点が一致するとき、円が得られる。
		+	* [[定幅曲線]]は、その幅—図形の幅は、それを挟む二つの平行線が、各々その図形の境界と一点のみを共有するときの、それら平行線間の距離として定める—が平行線の方向のとり方に依らず一定であるような図形を言う。円はもっとも単純な定幅曲線形の例である。

	== 拡幅円弧の長さ ==		== 拡幅円弧の長さ ==

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 {{main|円錐曲線|楕円|放物線|双曲線}}
 つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を[[楕円]]という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを'''正円'''（せいえん）または'''真円'''（しんえん）と呼ぶことがある。
 == 拡幅円弧の長さ ==

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 == 一般化 ==
-次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を[[球]]という。もっと一般に、''n'' を自然数とするとき、''n''+1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、''n'' 次元球面といい、''S''<sup>''n''</sup> と書く。円は 1 次元球面である。
+=== 球面・超球面 ===
-二つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を[[楕円]]という。楕円は一般に円をつぶしたような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを'''正円'''（せいえん）または'''真円'''（しんえん）と呼ぶことがある。
+=== 円錐曲線 ===
 == 拡幅円弧の長さ ==

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 \end{vmatrix} =0</math> と表すこともできる。
-=== {{vanc|射影平面|斉次形の方程式}} ===
+=== 射影平面 ===
-[[射影平面]]上の円の方程式は、円上の任意の点の{{ill2|斉次座標系|label=斉次座標|en|Homogeneous coordinates}}を（[[埋め込み (数学)|埋め込み]] {{math|(''x'', ''y'') {{mapsto}} {{bracket|''x'' : ''y'' : 1}}}} のもとで） {{math|{{bracket|''x'' : ''y'' : ''z''}}}} と書くとき、その一般形を <math display="block">x^2+y^2-2axz-2byz+cz^2 = 0</math> と書くことができる。
+[[射影平面]]上の円の方程式は、円上の任意の点の斉次座標を（[[埋め込み (数学)|埋め込み]] {{math|(''x'', ''y'') {{mapsto}} {{bracket|''x'' : ''y'' : 1}}}} のもとで） {{math|{{bracket|''x'' : ''y'' : ''z''}}}} と書くとき、その一般形を <math display="block">x^2+y^2-2axz-2byz+cz^2 = 0</math> と書くことができる。
 === 極座標系 ===

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 === 接線の方程式 ===
 円上の点 {{mvar|P}} における[[接線]]は、{{mvar|P}} を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を {{math|(''a'', ''b'')}}, 半径を {{mvar|r}} とし、{{math|''P'' {{coloneqq}} (''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} とすれば、垂直条件により接線の方程式は {{math|(''x''{{sub|1}} − ''a'')''x'' + (''y''{{sub|1}} – ''b'')''y'' {{=}} ''c''}} の形をしていなければならない。これが {{math|(''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} を通るから {{mvar|c}} は決定できて、接線の方程式は <math display="block">(x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1</math> または <math display="block">(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2</math> の形に書ける。{{math|''y''{{sub|1}} ≠ ''b''}} ならばこの接線の傾きは <math display="block">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1-a}{y_1-b}</math> であるが、これを[[陰函数微分法]]を用いて求めることもできる。
 == 円の幾何学 ==

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	=== 接線の方程式 ===		=== 接線の方程式 ===
		+	円上の点 {{mvar\|P}} における[[接線]]は、{{mvar\|P}} を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を {{math\|(''a'', ''b'')}}, 半径を {{mvar\|r}} とし、{{math\|''P'' {{coloneqq}} (''x''{{sub\|1}}, ''y''{{sub\|1}})}} とすれば、垂直条件により接線の方程式は {{math\|(''x''{{sub\|1}} − ''a'')''x'' + (''y''{{sub\|1}} – ''b'')''y'' {{=}} ''c''}} の形をしていなければならない。これが {{math\|(''x''{{sub\|1}}, ''y''{{sub\|1}})}} を通るから {{mvar\|c}} は決定できて、接線の方程式は <math display="block">(x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1</math> または <math display="block">(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2</math> の形に書ける。{{math\|''y''{{sub\|1}} ≠ ''b''}} ならばこの接線の傾きは <math display="block">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1-a}{y_1-b}</math> であるが、これを[[陰函数微分法]]を用いて求めることもできる。

	== 円の幾何学 ==		== 円の幾何学 ==